Cos’hanno in comune James Joyce, Pollock e i cavolfiori?

Chi l’avrebbe mai detto che la matematica potesse rappresentare un filo conduttore tra squarci di realtà estremamente diversi tra loro? Il collegamento è tutt’altro che immediato, ma nelle righe successive proveremo a capire in che senso la letteratura, l’arte e la natura nascondano “regole” comuni e molto curiose. Lo faremo partendo da un cavolfiore (o broccolo?), meglio se romanesco. La sua bellissima forma lo rende sicuramente uno degli ortaggi più appaganti, quantomeno per la vista, ma la sua struttura ha particolarmente attirato l’attenzione anche dei matematici. Si tratta infatti di un frattale.

Origine della parola “frattale”

Il termine “frattale” nasce, appunto, in ambito matematico e indica una struttura geometrica molto complessa che tende ad andare oltre le nostre capacità di immaginazione. I frattali, infatti, sono chiamati così perché hanno dimensione fratta. Tutto ciò che ci circonda, essendo immerso nello spazio, ha dimensione tre e sappiamo anche che esistono oggetti di dimensione uno (linee) e due (superfici). Però, oltre il tridimensionale la nostra immaginazione non può spingersi, anche se esistono entità matematiche che hanno dimensione quattro, cinque e così via. Come se non bastasse, le dimensioni non sono necessariamente numeri naturali (1, 2, 3, 4,…) ma possono anche essere numeri reali positivi (cioè numeri con la virgola oppure π, per esempio). Questo perché quando si parla di dimensione in questo contesto si fa riferimento alla dimensione di Hausdorff. Essa non è altro che un’estensione del tradizionale concetto di dimensione che tutti conosciamo. Grazie a questa nuova definizione è contemplata l’esistenza di oggetti con dimensione fratta come i frattali, appunto.

Le altre proprietà dei frattali

Le proprietà dei frattali più interessanti per i non addetti ai lavori sono sicuramente altre, però. Anzi tutto, per riuscire a immaginare un frattale può essere utile far riferimento al fiocco di neve di Koch. Esso si ottiene a partire da un segmento a cui viene tolta la parte centrale, sostituendola con un “triangolino”. Il procedimento viene così iterato per ogni segmento ricavato (in rete è facile trovare la costruzione). In linea di massima, qualsiasi figura ottenuta tramite un procedimento iterativo di questo tipo è un frattale. Il risultato è che ogni piccola porzione di una figura frattale, se ingrandita, presenta la stessa struttura della figura originale. Questa proprietà si chiama autosimilarità e se si osserva con attenzione è tipica anche del nostro cavolfiore romanesco.

Un’altra caratteristica curiosa di un frattale, che sovverte il senso comune, è il rapporto tra il suo perimetro e l’area. Immaginiamo un frattale piano come il fiocco di neve. Il perimetro, cioè la lunghezza del contorno, è infinito, mentre l’area, cioè la zona racchiusa nel contorno, è finita.

A questo punto è necessario fare una precisazione: i frattali che troviamo in natura (come i cavolfiori ma anche gli alveoli polmonari o le felci) non sono veri e propri frattali in senso matematico. I frattali della geometria, infatti, richiedono il concetto di “passaggio al limite infinito“. Significa che per ottenere un frattale è necessario ripetere il procedimento iterativo di cui parlavamo in precedenza infinite volte. Idealmente, quindi, lo zoom su un vero frattale potrebbe andare avanti all’infinito e si otterrebbe sempre la stessa immagine. Ma l’infinito è un concetto matematico astratto non applicabile alla natura. Quindi, nel caso di oggetti reali, è più corretto parlare di prefrattali.

Jackson Pollock: frattali su tela

Nell’ambito dell’arte del ‘900, tra le più particolari e controverse ci sono sicuramente le opere di Jackson Pollock. Principale esponente dell’espressionismo astratto, in particolare dell’action painting, è considerato il perfezionatore della tecnica del dripping. Essa consiste nel dipingere usando i pennelli non nel modo consueto ma semplicemente facendo gocciolare il colore direttamente sulla tela. Il risultato sono le famose “tele a chiazze” di colori che tutti conosciamo e che nel tempo hanno raggiunto un valore di mercato enorme.

Naturalmente, vista anche l’apparente “semplice” realizzazione, il rischio di circolazione di imitazioni è aumentato moltissimo. Così, data la particolarità delle opere, un professore dell’università dell’Oregon, Richard Taylor, si è domandato se potessero avere natura frattale e se questo potesse essere un criterio per accertarne la veridicità. Ne è scaturita un’indagine i cui risultati sono stati pubblicati sulla rivista scientifica «Nature» nel 1999. Si tratta quindi di una ricerca relativamente datata ma il metodo utilizzato è interessante: si chiama box counting e consiste nel suddividere la tela in caselle come una griglia. A questo punto, alcune caselle conterranno parti di dipinto (colorate), altre no. Aumentando sempre di più il numero di caselle, quindi diminuendo la loro dimensione, si conta un numero sempre maggiore di caselle “piene”. Questo, secondo Taylor, dimostrerebbe la logica frattale presente nelle tele Pollock, in particolare perché l’aumento di caselle piene è esponenziale all’aumentare del passo del reticolo.

Opinioni discordanti

Altri studiosi, come Katherine Jones-Smith e Harsh Mathur, hanno tuttavia contestato il metodo utilizzato da Taylor, sostenendo che non è affidabile poiché non sono state effettuate abbastanza prove. Secondo i loro risultati, moltissime altre opere e disegni realizzati con metodologie simili a quella di Pollock presenterebbero una natura frattale. Insomma, il procedimento e i risultati di Taylor sono senza dubbio affascinanti ma non costituiscono un metodo sicuro per accertare il valore di un’opera e distinguerla da eventuali imitazioni.

Frattali e letteratura

Uno dei risultati sicuramente più inaspettati riguardo la presenza dei frattali intorno a noi, è quello raggiunto dagli studiosi dell’Istituto di Fisica Nucleare dell’Accademia Polacca delle Scienze. Essi si sono domandati se la logica frattale potesse essere in qualche modo nascosta anche nelle opere letterarie, vista la loro ricca presenza in natura e nelle attività umane. La ricerca ha riguardato più di 100 opere letterarie sufficientemente lunghe scritte in varie lingue, tra le quali quelle di Charles Dickens, Umberto Eco e James Joyce. Analizzando la “dimensione” delle frasi, contandone il numero di parole, si è scoperto che il rapporto tra le lunghezze delle frasi si mantiene costante confrontando tra loro sia frasi corte che frasi lunghe. In particolare sono state riscontrate delle similarità con i risultati trovati attraverso studi sulle composizioni musicali e le onde cerebrali.

Le opere che evidenziano in maniera più chiara questa natura frattale sono quelle appartenenti a un genere letterario specifico, lo stream of consciousness (o “flusso di coscienza”), tanto da risultare addirittura multifrattali. Curioso è il fatto che si tratti di un genere che prevede la scrittura libera dei pensieri così come compaiono nella mente, senza una particolare riorganizzazione logico-razionale. Tra le opere multifrattali ne sono state individuate alcune di James Joyce e Virginia Woolf ed eccezionalmente la Bibbia, seppur non appartenente al genere letterario sopra citato.

La matematica ovunque

Ad alcuni potrebbe sembrare una forzatura questo tentativo di trovare “regole” anche nelle opere artistiche, soprattutto se si parla di regole attinenti in qualche modo alla sfera della matematica o della scienza. Sicuramente si tratta di mondi diversi e l’arte, in tutte le sue forme, è giustamente degna di interesse per motivi ben differenti rispetto a quelli trattati in questo articolo. Tuttavia, talvolta può essere interessante notare come materie quali la matematica, di cui spesso si fatica a comprendere l'”utilità”, siano presenti nelle cose che ci circondano molto più di quello che possiamo immaginare.